Resumo Objetivo. O artigo apresenta uma análise curricular do tratamento dos números racionais nos quatro programas de estudos de matemática que vigoraram no Chile de 1974 a 2012. Metodologia. Especificamente, os objetivos de ensino-aprendizagem vinculados às noções de fração, decimal e porcentagem foram caracterizados de acordo com as categorias do Conselho Nacional de Professores de Matemática (NCTM, 2003). Resultados. Se encontrou que a maioria das noções relacionadas ao número racional e sua compreensão são aspectos recorrentes, porém, diferem em sua utilização flexível, em suas representações, no cálculo e resolução de problemas. Discussão. Concluímos que a evolução observada no tópico está relacionada às mudanças sociais e às políticas educacionais do momento.

Resumen Objetivo. El artículo presenta un análisis curricular del tratamiento de los números racionales en los cuatro programas de estudio de matemática que han estado vigentes en Chile desde 1974 al 2012. Metodología. Específicamente, se caracterizaron los objetivos de enseñanza-aprendizaje vinculados a las nociones de fracción, decimal y porcentaje, atendiendo a las categorías del National Council of Teacher of Mathematics (NCTM, 2003). Resultados. Se encontró que la mayoría de las nociones relativas al número racional y su comprensión son aspectos recurrentes; sin embargo, difieren en su uso flexible, en sus representaciones, en el cálculo y resolución de problemas. Discusión. Concluimos que la evolución observada en el tópico es relativa a los cambios sociales y de las políticas educativas del momento.

Abstract Purpose. The article presents a descriptive-comparative analysis of how rational numbers are taught in four mathematics programs developed in Chile from 1974 to 2012, encompassing from third to sixth grade (ages 8-12). Methods. The learning objectives were analyzed based on the notion of fractions, decimals, and percentages, following the standards set by the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2003). Content analysis was used as the method. Results. Most of the notions and understanding the rational number are recurrent aspects across the programs. However, they vary in their flexible use, representations, calculation and solving problems processes. Discussion. The observed evolution in the topic is found to be related to social changes and educational policies during the time period.

Resumen A través de un enfoque cualitativo, identificamos y caracterizamos las estrategias y representaciones que realizan estudiantes de Educación Secundaria durante la resolución de una tarea de modelización, atendiendo a los estilos de pensamiento de los participantes. Encontramos el empleo del pensamiento analítico en estrategias como el uso de cálculos numéricos, correspondencias y patrones. Las representaciones asociadas a las dos primeras estrategias corresponden a la representación simbólica-numérica. Para la tercera estrategia, uso de patrones, se utilizó el sistema de representación tabular. Solo un grupo utilizó formas de pensamiento visual y analítico en sus estrategias y representaciones. Concluimos que la falta de uso de distintos sistemas de representación en las estrategias de resolución podría deberse a que la formación de los participantes pudo estar focalizada en el uso específico de representaciones simbólico-numéricas y lenguaje natural, incidiendo directamente en el tipo de estilo de pensamiento analítico al resolver la tarea de modelización. Destacamos la relevancia de la incorporación de herramientas más adecuadas en la enseñanza, que incidan en el uso de estrategias y representaciones que estimulen un estilo de pensamiento integrado y el empleo flexible de estos elementos para lograr un equilibrio entre la realidad y las matemáticas. cualitativo modelización numéricos patrones simbólicanumérica. simbólicanumérica simbólica numérica. numérica simbólica-numérica estrategia tabular simbóliconuméricas simbólico numéricas natural enseñanza matemáticas

Abstract Through a qualitative approach, we identify and characterize the strategies and representations carried out by High School students during the resolution of a modeling task, considering the participants’ thinking styles. We found the use of analytical thinking in strategies such as the use of numerical calculations, correspondences, and patterns. The representations associated with the first two strategies correspond to the symbolic-numerical representation. For the third strategy, use of patterns, we used the tabular representation system. Only one group used forms of visual and analytical thinking in their strategies and representations. We conclude that the lack of use of different representation systems in resolution strategies could be due to the training of the participants could be focused on the specific use of symbolic-numerical representations and natural language, directly influencing the type of thinking style analysis when solving the modeling task. We emphasize the importance of incorporating more appropriate tools in teaching, which affect the use of strategies and representations that stimulate an integrated thinking style and the flexible use of these elements to achieve a balance between reality and mathematics. approach task styles calculations correspondences patterns symbolicnumerical symbolic strategy system language teaching mathematics

ABSTRACT: Collaborative work in education is considered a strategy to respond to diversity in the classroom, consisting of the formation of work teams made up of different professionals. One of the modalities in which this strategy can be implemented is co-teaching. This research explores the conceptions and beliefs of pre-service mathematics teachers about co-teaching with a special education teacher. Design contemplates semi-structured interviews with 5 students in each cohort from a public university of Santiago de Chile, which were analyzed by means of a content analysis. The main results indicate: a) there is little consistency and coherence in the role of the teacher since participants generally refer to symmetrical collaborative work, but at the same time they agree that the role of the special educator is only to help; b) the type of co-teaching that most prevail in participant’s responses is "one teaches, one helps"; and c) future teachers conceptualize students` role under an integration paradigm and not an inclusion. We conclude that there are tensions in the thinking of future teachers regarding the implications of co-teaching work.

RESUMEN: El trabajo colaborativo en el ámbito educativo se le considera una estrategia curricular para responder a la diversidad en el aula, consistente en la formación de equipos de trabajo integrados por diversos profesionales. Una de las modalidades en que esta estrategia puede concretizarse es la co-docencia o co-enseñanza. Esta investigación explora las concepciones y creencias de docentes en formación de Pedagogía en Matemáticas acerca de la co-docencia con un docente de Educación Diferencial. Bajo un diseño cualitativo, se realizaron entrevistas semiestructuradas a un total de 5 estudiantes seleccionados por conveniencia de cada cohorte de la carrera, las cuales fueron analizadas mediante el método análisis de contenido. Los principales resultados muestran que: a) sobre el rol del profesor existe poca consistencia y coherencia, pues generalmente se alude a un trabajo colaborativo simétrico, pero al mismo tiempo coinciden en que el rol del educador/a diferencial es ser una ayuda; b) el tipo de co-docencia que más prevalece es el de “uno enseña, uno ayuda”; y c) el rol respecto de los escolares se acerca a un paradigma integrador y no de inclusión. Concluimos que existen tensiones en el pensamiento de futuros profesores respecto a lo que implica el trabajo de co-docencia.

Abstract Problem-solving is a pivotal process in mathematics education, however, implementing it effectively in the classroom is not trivial, since teachers must hold specific knowledge for it. In this work, we present a multiple case study focused on prospective primary school teachers’ knowledge about mathematical problems, their resolution process, and their disposition towards them. The participants were 9 future primary teachers who finished their degree at a university in Spain. Data were collected through semi-structured interviews. The results indicate teachers hold a problem characterization disconnected from the solver and a linear conceptualization of the problem-solving process, showing a poor integration in their professional knowledge.

Resumen La resolución de problemas es un proceso central en la educación matemática, sin embargo, implementarla de forma efectiva en el aula no es un proceso trivial. Los profesores requieren conocimientos específicos para ello. Este trabajo presenta un estudio de casos múltiple, centrado en indagar el conocimiento de futuros maestros de primaria sobre problemas matemáticos, su proceso de resolución y la disposición hacia ellos. Se realizaron entrevistas semiestructuradas a nueve futuros maestros que terminaban su formación universitaria del grado de Educación Primaria en España. Los resultados muestran que los profesores sostienen una caracterización de problema desconectada del resolutor y una conceptualización lineal del proceso de resolución, demostrando la poca integración existente en sus conocimientos profesionales.

Abstract This paper analyses the cognitive demand of mathematical tasks proposed for probability and statistical learning present in Chilean school textbooks. Results show a range of mathematical tasks with a strong predominance of those related to connection procedures. On the other hand, they show the need to broaden the type of tasks which seek to foster probability and statistical learning in Primary Education, especially in the case of probability, since according to this study data, the types of tasks proposed for its learning is not very varied. This fact diminishes its applicability value, which consequently limits its comprehension.

Resumen En este trabajo se analiza la demanda cognitiva de las tareas matemáticas propuestas para el aprendizaje de la estadística y la probabilidad en libros de texto escolar chilenos. Los resultados muestran una variedad de tareas matemáticas, con fuerte predominio de aquellas tareas vinculadas a procedimientos con conexión. Por otro lado, evidencian la necesidad de enriquecer el tipo de tareas que buscan promover el aprendizaje de la estadística y la probabilidad en la Educación Primaria, sobre todo en el caso de la probabilidad, pues a la luz de los datos de este estudio, se observa que el tipo de tareas propuestas para el aprendizaje de la probabilidad es poco variado lo que resta valor a su aplicabilidad, y por ende, limita su comprensión.

RESUMO A resolução de problemas é considerada central na aprendizagem e no ensino da matemática escolar. Sua implementação nas salas de aula, no entanto, tem sido elusiva e difícil. Um dos fatores identificados como responsáveis foram as concepções dos professores sobre o processo de resolução de problemas, nos quais são valorizados e relacionados ao desenvolvimento do pensamento, ao mesmo tempo em que seu ensino é processualizado. Esse entendimento influenciará a seleção de problemas que o professor faz. Sendo este um papel crítico para a sua implementação bem-sucedida, neste trabalho pretendemos investigar as tensões existentes nos critérios de seleção utilizados pelos professores do Ensino Fundamental do Chile. Construímos e aplicamos um questionário aberto aos participantes de um workshop voluntário sobre a seleção de problemas matemáticos. A análise de suas respostas por meio de uma análise de conteúdo revela que esses professores manifestam concepções objetivistas, utilitárias e humanistas sobre os problemas. Neles é possível identificar as tensões Say/Grow e Security/Challenge e outro par que amplia a visão sobre as tensões que podem emergir no contexto escolar. Conclui-se que as diferentes perspectivas sobre os conceitos promovem tensões na seleção de problemas relacionados com a forma como se dirige a classe, a relação entre o professor e o sistema escolar e entre o professor e a resolução de problemas.

ABSTRACT Problem solving is central to the learning and teaching of school mathematics. Its implementation in the classrooms, however, has been elusive and difficult. One of the factors identified as responsible has been teachers conceptions of the process of solving problems, in which they are valued and related to the development of thought, at the same time that their teaching is carried out as a process. This understanding will influence the selection of problems that the teacher makes. This would play a critical role for its successful implementation; in this paper, we explore the tensions in the selection criteria used by Chilean Primary School teachers. We have built and applied a questionnaire open to those attending a voluntary workshop on the selection of mathematical problems. The analysis of their answers by means of a content analysis reveals that these in-service teachers manifest objectivist, utilitarian and humanistic conceptions about the problems. Also, it is possible to identify the tensions Say/Grow and Security/Challenge and another pair that broadens the vision on the tensions that can emerge in the school context. We conclude that the different perspectives in conceptions promote tensions in the selection of problems, related to how the class is orchestrated, the relationship of the teacher with the school system and between the teacher and the resolution of problems.

RESUMEN La resolución de problemas es considerada central en el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Su implementación en las salas de clases, sin embargo, ha resultado esquiva y dificultosa. Uno de los factores señalados como responsables han sido las concepciones que manifiestan los profesores sobre el proceso de resolución de problemas, en las que se valora y se le relaciona con el desarrollo del pensamiento, al mismo tiempo que se procedimentaliza su enseñanza. Este entendimiento influenciará la selección de problemas que realice el profesor. Siendo este un rol crítico para su implementación exitosa, en este trabajo nos proponemos indagar en las tensiones existentes en los criterios de selección que utilizan profesores de educación primaria chilenos. Hemos construido y aplicado un cuestionario abierto a los asistentes a un taller voluntario sobre selección de problemas matemáticos. El análisis a sus respuestas mediante un análisis de contenido revela que estos profesores manifiestan concepciones objetivistas, utilitaristas y humanísticas sobre los problemas. En ellas es posible identificar las tensiones Decir/Crecer y Seguridad/Desafío y otro par que amplia la visión sobre las tensiones que pueden emerger en el contexto escolar. Concluimos que las distintas perspectivas en las concepciones promueven tensiones en la selección de los problemas, relativas a cómo se orquesta la clase, a la relación del profesor con el sistema escolar y entre el propio profesor y la resolución de problemas.

Abstract: This paper aims to describe a cycle of reflection carried out in a course on professional development and knowledge of the mathematics teacher, belonging to the Master in Mathematical Education of the University of Granada. Reflection starts from a professional problem and is carried out under the theoretical approaches of Smith (1991), from the perspective of the student / trainer. We describe the process carried out along the course. Finally we discuss some of the possible contributions of this cycle can promote on professional development of teacher trainers.

Resumen: Este trabajo tiene como objetivo describir un ciclo de reflexión realizado en un curso sobre desarrollo profesional y el conocimiento del profesor de matemáticas, correspondiente a la Maestría en Educación Matemática de la Universidad de Granada. La reflexión se inicia desde un problema profesional y se realiza bajo los enfoques teóricos de Smith (1991), desde la perspectiva del estudiante/formador. Describimos el proceso realizado a lo largo del curso, haciendo evidente el proceso de cambio ocurrido. Finalmente discutimos algunas de las posibles contribuciones de este ciclo en la promoción del desarrollo profesional de los formadores de profesores.